Our website does not support Internet Explorer.

To get the best experience on our website and of our content, please use a more modern browser like Edge, Chrome, Safari or similar.

Uendelighet er slangen i fysikkens paradis

I årtusener har tenkere balet med ideen om uendelighet. Som en plagsom slange snor den seg inn overalt i matematikken, men hver gang den stikker hodet fram i fysikken, oppstår det uløselige paradokser. Først for hundre år siden lærte matematikerne å regne med uendelige mengder, men ett sentralt spørsmål står igjen: Finnes uendeligheten bare i tallenes teoretiske verden, eller er den en del av virkeligheten?

Shutterstock

For 100 år siden gjorde døde et av verdenshistoriens største matematiske genier av et hjerteinfarkt.

Georg Cantor sa farvel til livet 6. januar 1918, alene på rommet sitt på et psykiatrisk sanatorium i den tyske byen Halle. I skyggen av første verdenskrig tilbrakte han sine siste år her, i fattigdom, svekket av sult og dypt plaget av den depresjonen som hadde forfulgt ham gjennom flere tiår.

Cantor så neppe seg selv som en av verdenshistoriens største matematikere. Det meste av karrieren var han sterkt preget av den kritikken og motstanden han opplevde fra andre matematikere, som i lange perioder fikk ham til å tvile på seg selv.

Og for tidens matematikere lød tankene hans som det rene vanvidd. Han hevdet blant annet at det ikke bare finnes én, men to typer uendelighet.

I dag er matematikerne imidlertid enige om at bidragene han kom med, var uvurderlig, fordi han ga oss en helt ny forståelse av begrepet uendelighet.

For å forstå hva Cantor fikk til, må vi enda lengre tilbake, tusenvis av år og kanskje mer.

Kanskje har tanken om uendeligheten fascinert og irritert mennesket helt siden forfedrene våre begynte å se opp mot himmelen og fundere over hvor langt det er til stjernene, og hva som ligger lenger unna.

Tanken om uendelighet er svimlende, og det paradoksale er at vi avskrekkes av den, samtidig med at vi ikke kan unnvære den.

Forestillingen om at universet er uendelig, avføder automatisk reaksjonen: «Det må vel ta slutt ett eller annet sted».

Omvendt har vi problemer med å akseptere tanken om et endelig univers, for «hva er det da utenfor?».

© DEA/A. DAGLI ORTI/Getty

" Naturen flykter fra det uendelige, for det er ufullkomment, og naturen søker alltid en avslutning. "

Aristoteles (384-322 f.Kr.) avviste at uendelighet finnes i virkeligheten.

Paradokset har ikke blitt mindre etter hvert som naturvitenskapens grunnverktøy, matematikken, har utviklet seg. Her dukker uendelighetene opp massevis av steder, men betyr det at de også er en del av fysikken?

De fleste fysikerne vil nok svare nei. Når de utvikler teorier som skal beskrive virkeligheten, og de kan se at ligningene inneholder uendeligheter, tar de det som regel som et tegn på at det må være noe galt med teorien.

På den annen side har matematikken vist seg somet helt uunnværlig verktøy til å beskrive naturen, så hvorfor skulle det være denne forskjellen på teori og virkelighet – på matematikk og fysikk?

Uendelighet er vanlig barnelærdom

Uendelighe hører ikke bare til komplisert og avansert matematikk. Barn er ikke særlig gamle før de lærer å telle, og derfra er det ikke langt til å spørre om hva det største tallet i verden er. Tusen, en million, en milliard – eller kanskje en billion, en billiard eller en trillion?

Vi lærer raskt at tallrekken fortsetter, også forbi de største navngitte tallene – for eksempel en googol, som er et ett-tall etterfulgt av hundre nuller, eller en googolplex, som er 10googol.

Ingen tall er større enn uendeligheten. I skolen møter vi uendeligheter allerede på barneskolen, når vi møter brøker og desimaltall.

Den enkle brøken 1/3 kan skrives som 0,333333 … og vi lærer at tretallene etter kommaet fortsetter i det uendelige.

Og når vi skal lære geometri, blir vi fortalt at en linje består av uendelig mange punkter, men hver av dem er uendelig små.

Litt senere lærer vi faktisk det spesielle tegnet for uendelig, nemlig det liggende åttetallet, ∞, som antagelig symboliserer en slange som biter seg selv i halen.

Når vi går ut av skolen, er uendeligheten i matematikkens verden et velkjent og akseptert fenomen.

Matematisk innsikt betydde drukning

I antikkens Hellas var de første møtene med uendeligheten en mye mer brutal affære.

En av matematikkens store fedre, Pythagoras, som levde fra 570 til 495 f.Kr., var litt av en multikunstner og arbeidet blant annet med filosofi, matematikk og musikk – og helst en blanding av alt sammen. Han grunnla et brorskap, pytagoreerne, som bestod av elever og tilhengere.

I dag vet vi ikke så mye om pytagoreerne, for det var et hemmelighetsfullt brorskap der medlemmene hadde taushetsplikt, men på noen områder var de forut for sin tid.

For eksempel gikk de inn for likestilling, så kvinner var like velkomne som menn. Til gjengjeld var frisinnet begrenset når noen satt spørsmålstegn ved de matematiske sannhetene som var gjeldende på den tiden.

I hvert fall hvis vi skal tro fortellingen om en av elever til Pythagoras, Hippasos.

På en reise over Middelhavet fortalte Hippasos noen andre medlemmer av brorskapet om noen tanker han hadde gjort seg om det vi i dag kaller Pythagoras’ læresetning for rettvinklede trekanter: At sidene at kvadratet på hypotenusen (altså lengden ganget med seg selv) er likt med summen av kvadratet på hver av katetene.

Hippasos hadde regnet på den enkle trekanten der katetenes lengde er 1, og hadde kommet fram til at lengden av hypotenusen ikke kunne beskrives med et helt tall – og ikke engang med en brøk.

Lengden er derimot √2. Hippasos underholdt reisefellene med å føre matematisk bevis for at det ikke fantes noe helt tall eller noen brøk som ganget med seg selv ble 2.

Det skulle han ikke ha gjort. De andre pytagoreerne ble så bestyrtet at de straks kastet Hippasos over bord og overlot ham til drukningsdøden.

Pytagoreernes håndtering av problemet var naturligvis ikke holdbar på lengre sikt, og i dag vet vi at Hippasos hadde rett. √2er et såkalt irrasjonalt tall.

Vi kan skrive det ut som desimaltall og får 1,414213562373095 hvis vi velger å stoppe ved 15 desimaler. Men desimalene fortsetter, og det er ikke noe mønster i dem som det for eksempel er med brøken 1/3, der vi kan forutsi at desimalene er tretall i det uendelige.

Et annet irrasjonalt tall er π. Det kan heller ikke skrives helt presist som en brøk, selv om 22/7 kommer ganske tett på. Med 15 desimaler er π = 3,141592653589793.

De irrasjonale tallene som Hippasos var på sporet av, skulle langt senere vise seg å være viktige for å få en dypere forståelse av det uendelige, men før det ventet en lang rekke kinkige problemer som plaget generasjoner av matematikere og filosofer.

Noen av de beste eksemplene er de paradoksene som ble formulert av Zenon fra Elea, som levde fra 490 til 425 f.Kr. Zenon fortalte for eksempel historien om helten Akilles, som skulle løpe om kapp med en skilpadde.

Akilles kunne løpe ti ganger så raskt som skilpadden og ga derfor sin konkurrent et forsprang som vi kan sette til 100 meter i moderne måleenheter.

Zenons poeng var at Akilles aldri ville ta igjen skilpadden, for i det øyeblikket vår helt nådde fram til det stedet der skilpadden var ved starten av løpet, hadde den jo kommet ti meter lenger fram.

Og når Akilles nådde fram til det stedet, ville skilpadden ha nådd ytterligere én meter fram og så videre. Avstanden mellom dem ville hele tiden bli mindre, men den ville aldri bli null.

© Science Photo Library

Uendelighet blir til fysisk Nonsens

Gabriels horn blåser i fysikken
Den geometriske figuren Gabriels horn har fått navn etter erkeengelen Gabriel, som vil blåse i hornet ved dommedag. Figuren er et eksempel på at matematiske sannheter kan mister sin mening når de overføres til fysikkens verden.

Oppskriften er enkel
I et koordinatsystem tegnes først en kurve (gul) for formelen y = 1/x. Deretter roteres den delen av kurven der x er større enn 1, rundt x-aksen (med de grønne pilene). Resultatet er en tredimensjonal, hornformet figur (rød).

Arealet stikker av fra volumet
Gabriels horn blir tynnere og tynnere når x blir større. Lar vi x gå mot uendelig, skjer det noe merkelig med overflaten og volumet av figuren:

Arealet av overflaten (eller innsiden) av hornet fortsetter med å vokse og blir uendelig stort. Volumet av hornet fortsetter ikke å vokse, men nærmer seg tallet pi – og er altså endelig.

For en fysiker er det nokså underlige egenskaper. Det betyr nemlig at om hvis vi fylte Gabriels horn helt opp med maling, ville det likevel ikke være nok til å male verken utsiden eller innsiden av hornet.

Zenons paradokser ble tatt opp av filosofen og vitenskapsmannen Aristoteles, som levde fra 384 til 322 f.Kr.

Han var veldig opptatt av begrepet uendelighet og behandler det blant annet i verket som har fått navn «Fysikken». Aristoteles tilbakeviser Zenons paradokser uten egentlig å motbevise dem.

I stedet skiller han mellom det han kaller «potensiell uendelighet» og «aktuell uendelighet». Skillet avspeiler Aristoteles’ egen bakgrunn.

Som sønn av en lege hadde han et konkret og vitenskapelig syn på naturen, og som elev av filosofen Platon hadde han samtidig en abstrakt måte å betrakte verden på.

Aristoteles mente at uendelighet eksisterer, men bare som en mulighet. Det er for eksempel prinsipielt mulig å dele et linjestykke i uendelig mange deler eller å fortsette å telle i det uendelige, men det er ikke praktisk mulig.

Den potensielle uendeligheten er altså til stede, men denne uendeligheten finnes ikke. Som Aristoteles uttrykte det: «Naturen flykter fra det uendelige, for det uendelige er ufullkomment, og naturen søker alltid en avslutning.»

Holder Zenons hypotese?

Et gammelt gresk paradoks handler om kappløpet mellom helten Akilles og en skilpadde.

Renessansegeni måtte gi opp

Nesten 2000 år senere ble skillet mellom matematisk teori og fysisk virkelighet, som Aristoteles hadde innført, utfordret av en av renessansens store tenkere, Galileo Galilei.

I 1632 utga Galilei en av sine viktigste bøker, der han sammenlignet to verdenssyn – det geosentriske, som har jorda i sentrum av solsystemet, og det heliosentriske, som har sola i sentrum.

Boken er skrevet som en dialog mellom talsmenn for de ulike verdensoppfatningene, men det framgår tydelig at Galilei er tilhenger av den heliosentriske – noe som senere gir ham store problemer med den katolske kirken.

Boken handler imidlertid ikke bare om solsystemet. Personene i dialogen diskuterer også matematiske uendeligheter.

Her avslører dialogen følgende tankerekke hos Galilei, som funderer over sammenhengen mellom hele tall og kvadratene av disse tallene: Når vi ganger et helt tall med seg selv, får vi tallets kvadrat.

Tallet 1 har kvadratet 1, tallet 2 har kvadratet 4, tallet 3 har kvadratet 9, tallet 4 har kvadratet 16 og så videre.

Vi ser raskt at det finnes massevis av hele tall som ikke er kvadrattall – for eksempel er det bare i tallrekken fra 1 til 10 tallene 2, 3, 5, 6, 7, 8 og 10, som ikke er det.

Nå er spørsmålet: Finnes det flere hele tall enn kvadrattall? Intuitivt må svaret være ja, og konsekvensen må være at uendeligheten av hele tall er større enn uendeligheten av kvadrattall.

Men så argumenterer Galilei videre: Ethvert helt tall har jo sitt helt eget kvadrattall, og derfor må det være like mange hele tall og kvadrattall. Med dette argumentet er de to uendelighetene plutselig nøyaktig like store. Så hva er riktig?

Galilei gir opp å løse paradokset. I stedet konkluderer han med at når det dreier seg om uendeligheter, gir det ingen mening å bruke uttrykk som «større enn», «lik med» eller «mindre enn».

Det har naturligvis ergret Galilei å gi tapt på denne måten, for han mente matematikken var universell.

Den var i hans øyne ikke bare et menneskeskapt redskap for å beskrive verden, men en del av selve naturen: «Naturens bok er skrevet i matematikkens språk», skrev han.

Galileis egen bok ble forbudt av kirken allerede året etter utgivelsen på grunn av forkjærligheten for det heliosentriske verdensbildet. I to århundrer var den forbudt lesning for katolikker og ble først frigitt i 1835.

Før Galileis bok havnet på den forbudte listen, ble den imidlertid lest av hans elev og store beundrer, Evangelista Torricelli. Torricelli var både fysiker og matematiker, og som sin læremester havnet han også inn i et paradoks om uendeligheter.

Det skjedde da han i 1644 regnet på en geometrisk figur som senere har blitt kjent som Torricellis trompet, og som også går under navnet Gabriels horn.

Det forunderlige ved denne figuren er at man med ganske enkel matematikk kan regne ut at overflaten er uendelig stor – og med like enkel matematikk kan vise at volumet er endelig.

Det virker intuitivt provoserende. Det betyr nemlig at hvis vi forestiller oss at vi fyller opp figuren med maling, vil det likevel ikke være maling nok til å dekke innsiden av den.

Altså igjen et eksempel på at matematikken kolliderer med praktisk fysisk tankegang. Matematikeren vil hevde at malingen faktisk kan dekke trompetens innside bare den er tynn nok, nemlig uendelig tynn.

Fysikeren vil si at noen slik maling ikke finnes.

© Getty Images

" Naturens bok er skrevet i matematikkens språk. "

Galileo Galilei (1564–1642) mente at matematikk er universell, og derfor må uendeligheter også finnes i naturen.

Noen uendeligheter er akkurat like store

For alle de som fulgte i fotsporene til Galilei og Torricelli, var det altså massevis av utfordringer å ta seg av. Problemet Galilei hadde pekt på, ble ikke løst før etter over 200 år – og det ble løst av den unge og talentfulle Georg Cantor.

I begynnelsen av 1870-tallet, lenge før han fikk psykiske problemer, tok Cantor for seg Galileis paradoks om uendeligheten av hele tall og kvadrattall.

Cantor var ikke fornøyd med Galileis konklusjon om at det ikke ga mening å sammenligne størrelsen på uendeligheter – og han ville gjøre noe med det.

Cantor brukte et annet eksempel: Ethvert tall i rekken 10, 20, 30, 40, 50 og så videre kan kobles til tallene 1, 2, 3, 4, 5 og så videre. Vi kan for eksempel koble 10 til 1, 20 til 2 og så videre.

Resultatet er at vi får en rekke par «uten hull» mellom, eller sagt på en annen måte: Det er like mange elementer i de to tallrekkene, som begge er uendelige.

Nøyaktig det samme gjør seg gjeldende for kvadrattallene 1, 4, 9, 16, 25 og så videre – eller for den saks skyld for partallene 2, 4, 6, 8, 10 og så videre eller oddetallene 1, 3, 5, 7, 9 og så videre.

Alle
disse tallrekkene – eller tallmengdene – er like store, rett og slett fordi vi kan danne par mellom dem og være sikre på at vi ikke kommer til å hoppe over noen.

I prinsippet er mengdene «tellelige», selv om de naturligvis ikke er det i praksis, siden det bokstavelig talt ville ta en evighet. Det samme gjelder for brøker og for negative tall og dermed for alle de tallene vi kaller rasjonale.

Hotellet har alltid plass til en til

Historien om Hilberts Hotell viser at såkalte tellelige uendeligheter har samme størrelse. Hilberts Hotell har uendelig mange rom, og uansett hvor mange ganger det ankommer et uendelig antall reisende, vil det alltid være plass.

Irrasjonale tall gir større uendelighet

Cantors måte å tenke på var revolusjonerende, for med denne metoden ble det mulig å legge sammen to uendeligheter.

Et enkelt eksempel er den uendelige rekken av oddetall og den uendelige rekken av partall. Legger vi sammen de to mengdene, får vi den uendelige rekken av naturlige tall.

Alle de tre mengder er opplagt tellelige, og vi kan derfor også si at ∞ + ∞ = ∞.

Her er det viktig å forstå at vi ikke kan «regne videre» på det matematiske utsagnet, på samme måte som vi er vant til å gjøre det med ligninger.

Vi kan for eksempel ikke trekke fra ∞ på begge sider av likhetstegnet, for da får vi jo at ∞ = 0, noe som åpenbart er feil.

Ved å bevise at de tellelige uendelighetene er like store, hadde Cantor også bevist at det i motsetning til Galileis påstand godt kan gi mening å sammenligne størrelsen på uendeligheter. Og samtidig hadde han faktisk grunnlagt en helt ny gren av matematikken, det vi i dag kjenner som mengdelære.

Cantor stoppet imidlertid ikke her. Han var klar over at måten han brukte til å betrakte de tellelige uendelighetene på, bare omfattet de rasjonale tallene. Men hva så med de irrasjonale, altså tall som π eller det famøse √2, som Hippasos måtte bøte med livet for i antikkens Hellas?

Irrasjonale tall kan ikke skrives som brøker, men bare som desimaltall, der desimalene fortsetter i det uendelige.

Cantor beviste at når man har en rekke av slike uendelige desimaltall, er det alltid mulig å konstruere flere som i størrelse ligger innen rekken. I ethvert intervall på irrasjonale tall er det derfor uendelig mange elementer.

"Frykten for uendelighet er et slags sneversyn som ødelegger mulighetene for å se det sanne uendelige."

Georg cantor (1845–1918) fant opp mengdelæren og en ny måte å håndtere uendeligheter på.

Cantors bevis innebærer at når vi utvider mengden av tall til å omfatte de irrasjonale tallene – og dermed inneholde alle reelle tall – så får vi en annen type uendelighet enn med de rasjonale tallene.

Den er «utellelig» og derfor større – eller «mektigere», som Cantor ville si.

Den «utellelige uendeligheten» svarer på mange måter til den uendeligheten vi tenker på når vi deler opp et linjestykke uendelig mange ganger – eller når vi tenker på det stykket som Akilles, i Zenons gamle paradoks, måtte løpe for å nå fram til skilpadden.

Strekningen ble mindre og mindre, men ifølge Zenon aldri 0. Det var ikke Cantor enig i, og argumentet hans var som følger: En uendelig desimalbrøk, som konvergerer mot – altså nærmer seg – et helt tall, for eksempel 0, har samme egenskaper som tallet selv og er derfor lik med det.

Vi kan for eksempel tenke på desimalbrøken 0,1 og fortsette å dele den med 10. Da får vi først 0,01, så 0,001, deretter 0,0001 og så videre.

Forestiller vi oss at det skjer uendelig mange ganger, har vi altså et tall som kan skrives slik: 0,00 … 1 – hvor de tre prikkene representerer uendelig mange nuller.

Med andre ord vil vi aldri nå til sifferet 1, og derfor er tallet virkelig et stort rundt 0. Og derfor blir avstanden mellom Akilles og skilpadden også før eller senere til 0, slik at han kan ta seieren i løpet.

Det matematiske tegnet for uendelighet, ∞, symboliserer antagelig en slange som biter seg selv i halen.

Cantors banebrytende tanker og beviser falt ikke i god jord hos alle kollegene hans. Den store franske matematikeren Henri Poincaré var intens motstander av Cantors arbeid og uttalte nærmest hånlig:

«Kommende generasjoner vil oppfatte mengdelæren som en sykdom de har blitt friske fra.»

Ikke engang Cantors egen lærer og mentor fra universitetet i Berlin, professor Leopold Kronecker, hadde noe pent å si om Cantors resultater, tvert imot:

«Jeg vet ikke hva som dominerer Cantors teori – om det er filosofi eller teologi – men jeg er sikker på at det ikke er noen matematikk til stede.»

Som det framgår var Kronecker helt uenig med sin tidligere elev, men hans perfide ordvalg henspiller også på en helt annen side av Cantor, nemlig hans intense religiøse tro.

Cantor var svært religiøs, og derfor var det også viktig for ham at det matematiske arbeidet var i harmoni med gudsoppfatningen hans.

For Cantor var uendeligheter ikke bare potensielle muligheter, som Aristoteles hadde argumentert for. De var like «virkelige» som alt annet i matematikken og dermed som alt annet i verden.

Både Cantor og Galilei mente at matematikken ikke bare var noe abstrakt og menneskeskapt, men noe grunnleggende i naturen, skapt av Gud. Og det Gud har skapt, har Han også makten til å virkeliggjøre. Cantor uttrykte det på denne måten:

«Frykten for uendeligheten er et slags sneversyn som ødelegger muligheten for å se det sanne uendelige, selv om det i sin høyeste form har skapt og opprettholdt oss, og i sine sekundære uendelige former opptrer overalt omkring oss og til og med bor i vårt eget sinn.»

© Shutterstock

Finnes der uendelig mange perfekte tall?

De eldste problemene innen matematikkens verden knytter seg antagelig til de såkalt perfekte tallene. Et tall er perfekt hvis summen av divisorer er lik tallet selv, hvis man ikke regner med tallet selv.

For eksempel er 28 perfekt fordi tallet kan deles med 1, 2, 4, 7 og 14, som til sammen gir 28. I numerisk rekkefølge er de første perfekte tallene 6, 28, 496, 8128 og 33.550.336.

Pytagoreerne og senere Euklid var dypt fascinert av de perfekte tallene og tumlet med mange problemer omkring dem. Hva som er det eldste, vet man ikke, men det kunne være problemet om det finnes uendelig mange perfekte tall eller ikke.

Dette spørsmålet er fortsatt ubesvart. I desember 2003 oppdaget man det 40. perfekte tallet – et tall som inneholder mer enn tolv millioner sifre.

Men det kan ikke utelukkes at det fortsatt eksisterer mange andre perfekte tall. Det er heller ikke avklart om det finnes perfekte oddetall.

Men før noen gir seg til å lete, bør de vite at matematikerne har etablert noen betingelser for eventuelle perfekte oddetall: De har over 300 sifre og inneholder minst 29 primfaktorer.

Matematikerne ble delt i to leirer

Striden mellom Kronecker og Cantor fortsatte de neste to tiårene, helt fram til Kroneckers død i 1891. De representerte hver sitt matematiske grunnsyn, som delte tidens matematikere i to leirer.

For Cantor var tall og matematikk virkelighet, og det gjaldt alle tall, også de irrasjonale. For Kronecker var tall bare virkelige når man kunne se den fysiske eksistensen.

Det innebar at han trivdes godt med de naturlige tallene, men aldri ble helt komfortabel med de irrasjonale tallene.

Den manglende anerkjennelsen fra sin gamle lærer gikk voldsomt inn på Cantor, og det har kanskje bidratt til de depresjonene som plaget ham senere i livet.

Han fortsatte å arbeide med matematikken, men i den siste delen av karrieren ved universitetet i Halle gikk han over til å arbeide stadig mer med de to andre interessefeltene sine, filosofi og litteratur.

Etter hvert fikk imidlertid flere og flere opp øynene for kvaliteten i Cantors matematiske arbeider, særlig mengdelæren. En av Cantors aller største beundrere var landsmannen David Hilbert, som ikke nølte med å kalle Cantors resultater for «det fineste produktet av matematisk geni og en av de ypperste bedriftene av ren intellektuell menneskelig aktivitet».

Senere har Hilbert skapt en kjent visualisering av Can­tors tellelige uendeligheter, med det som har fått navnet «Hilberts hotell». Ideen er at vi skal forestille oss et hotell med uendelig mange rom, som har numrene 1, 2, 3, 4, 5 og så videre. Alle rommene er enkeltrom, og alle sammen er opptatt.

Sent på kvelden ankommer en ny gjest, og i stedet for å sende ham vekk, velger resepsjonisten å løse problemet.

Han ber gjesten i rom 1 om å flytte til rom 2, gjesten på rom 2 om å flytte til rom 3, gjesten på rom 3 om å flytte til rom 4 og så videre.

På denne måten skaper han et ledig rom, nemlig rom 1, som den nye gjesten flytter inn i. Rent matematisk viser eksempelet at ∞ + 1 = ∞.

Men det blir fortsatt ikke noen nattero for gjestene, for like etter ankommer en buss med uendelig mange gjester. Igjen løser den snarrådige resepsjonisten problemet.

Han vekker igjen alle gjestene sine og ber dem nå om å forlate rommene og deretter flytte inn i det nærmeste rommet med et partall.

Først flytter gjesten fra rom 1 til nummer 2, så flytter gjesten fra rom 2 til nummer 4, gjesten fra rom 3 flytter til nummer 6 og så videre. Deretter kan hele det nye reiseselskapet flytte inn
i alle rommene med oddetall, og problemet er løst.

De tålmodige gjestene får imidlertid fortsatt ikke blund på øynene, for plutselig ankommer det faktisk uendelig mange busser, og alle sammen har uendelig mange passasjerer.

Nå må resepsjonisten tenke seg litt om, men han finner til slutt løsningen. Først ber han alle gjestene sine om å forlate rommene sine og flytte til de rom med oddetall – 1, 3, 5, 7, 9 og så videre.

De bor altså nå i de rommene som matematisk kan skrives som 2n – 1, der n er romnumrene. Det neste reiseselskapet får rommene som kan skrives som 2 (2n – 1). Den tredje gruppen får rommene med nummer som er det doble av den forrige gruppens nummer, altså 4 (2n – 1).

Slik fortsetter resepsjonisten med å fordele de neste uendelig store gruppene av gjester – i det uendelige. Det er plass nok.

Med dette eksempelet illustrerte Hilbert et viktig poeng i Cantors mengdelære, og han brukte det ofte i forelesningene sine. Hilberts hotell viser nemlig både at ∞ + ∞ = ∞, og at ∞ x ∞ = ∞.

Uendeligheter førte til matematisk paradis

For Hilbert var mengdelæren en matematisk genistrek, og som han sa:

«Ingen kan utvise oss fra paradiset Cantor har skapt.»

Med «oss» har Hilbert naturligvis ment «oss matematikere», for selv om Cantors mengdelære ga en helt ny matematisk forståelse av uendeligheter, gir den ikke noe svar på om uendeligheter eksisterer i virkeligheten.

I den fysiske verden finnes jo dessverre verken hoteller med uendelig mange enkeltrom eller for den saks skyld busser med uendelig mange sitteplasser.

Likevel kan matematiske uendeligheter i noen tilfeller vise seg å beskrive naturens verden overraskende presist – og dessuten på en visuelt overbevisende måte.

I siste halvpart av 1900-tallet ble et nytt matematisk begrep kjent og populært langt utenfor matematikernes rekker: fraktaler. Fraktaler er vakre, geometriske figurer basert på enkle matematiske ligninger.

Fraktaler har den egenskapen at de ser ut til å gjenta seg selv i det uendelige – forstått på den måten at når man zoomer inn på en liten del av figuren, ser det samme mønsteret ut til å komme fram igjen.

Et kjent eksempel ble beskrevet av den svenske matematikeren Helge von Koch allerede i 1904. Det går under navnet von Kochs snøfnugg og oppstår når man deler sidene av en likesidet trekant på samme måte igjen og igjen. Resultatet blir en figur med et omriss som ligner en snøkrystall.

Uendelig smått finnes ikke i naturen

Fraktaler etterligner naturens minste detaljer

En enkel fraktal oppstår når vi deler sidene på en likesidet trekant opp etter denne oppskriften:

  • © Shutterstock

    Fjern den midterste tredjedelen av siden. Erstatt den med en spiss som består av to linjer med samme lengde som den delen du fjernet.

  • © Shutterstock

    Gjenta prosessen med alle sidene av trekanten. Resultatet blir en stjerne.

  • © Shutterstock

    Gjør nå det samme med sidene av stjernen – og fortsett på denne måten. Resultatet blir en figur som ligner mer og mer på en snøkrystall.

  • © Shutterstock

    Naturen setter grenser

    Med fraktaler kan vi zoome inn på stadig mindre detaljer i det uendelige, men naturen har en nedre grense:

    Det minste i naturen kan ikke måle mindre enn den såkalte plancklengden, som er 1,6 x 10-35 meter.

I 1967 tok matematikeren Benoît Mandelbrot opp tankegangen igjen i en artikkel i det vitenskapelige tidsskriftet Science, der han stilte spørsmålet: «Hvor lang er Storbritannias kystlinje?».

Mandelbrots poeng var at svaret er avhengig av målestokken på det kartet du ser på. Jo mindre målestokken er, jo flere små detaljer får du med, og jo lenger blir kystlinjen.

I 1982 utga Mandelbrot boken «The Fractal Geometry of Nature», og de flotte mønstrene og de slående likhetene med strukturer i naturen var årsaken til at fraktaler, som tidligere var noe en liten gruppe matematikere drev med, med ett ble noe alle hadde hørt om.

Men selv om uendelighetene i fraktalene kan sammenlignes med snøkrystaller, kystlinjer eller strukturene i alt fra trekroner, bregneblader, blomkål og sneglehus, betyr det ikke at fraktalene er en direkte beskrivelse av dem.

I fraktalenes univers er det ikke noen begrensning på hvor dypt vi kan zoome inn på strukturene. Det er det i naturens verden. Før eller senere når vi ned på den atomære og subatomære skalaen, altså til fysikkens minste byggesteiner og til de minste enhetene vi kjenner til.

I kvantemekanikken går den nedre grensen for hvor smått noe kan være ved den såkalte plancklengden, som er 1,6 x 10-35 meter. Her stanser virkeligheten, mens matematikken kan fortsette – bokstavelig talt i det uendelige.

Det store universet

Det eneste vitenskapelige feltet der det tradisjonelt er «i orden» å snakke om fysiske uendeligheter, er kosmologien. I det store universet omkring oss opptrer så ekstreme
fenomener at vi hittil bare har kunnet beskrive dem ved hjelp av uendeligheter. Et av dem er svarte hull.

I sentrum av et svart hull er tyngdekraften uendelig stor, fordi en stor mengde materie er presset sammen i et uendelig lite område av rommet.

Fenomenet, som også kalles en singularitet, følger av Albert Einsteins generelle relativitetsteori fra 1915. Einstein tvilte imidlertid på at singulariteter eksisterer i virkeligheten.

«Svarte hull er der Gud har dividert med null», siteres han ofte for å ha sagt. Det har han ikke, for begrepet svart hull ble først introdusert på 1960-tallet, og Einstein døde i 1955.

Men formuleringen er en presis illustrasjon av den aversjonen Einstein hadde – og andre fysikere fortsatt har – mot forestillingen om fysiske uendeligheter.

Et annet spørsmål om fysisk uendelighet er naturligvis universets størrelse. Er det uendelig stort, eller er det en grense?

Fra midten av 1900-tallet fram til 1970-tallet var mange fysikere og astronomer enige om at universet var uendelig stort og hadde en uendelig lang historie.

Denne teorien som gikk under navnet «steady state» og ble båret fram av den britiske astronomen Fred Hoyle, men den måtte imidlertid gradvis vike for big bang-teorien.

I dag mener de fleste at universet oppsto fra en singularitet for 13,8 milliarder år siden og senere har utvidet seg til den størrelsen det har i dag.

Hvis big bang-teorien stemmer, har universet logisk sett en endelig størrelse – med mindre det på et tidspunkt har vokst med uendelig hastighet.

Observasjonene våre er begrenset av at lys har en endelig hastighet, og det er derfor en grense for hvor langt vi kan se ut i universet. Astronomene snakker om «det synlige universet» og har beregnet at det strekker seg 46,6 milliarder lysår ut i alle retninger sett fra jorda.

Hva som måtte ligge lenger unna, får vi aldri noe å vite om, fordi universets utvidelse innebærer at lys fra så fjerne områder aldri vil nå oss.

Problemet med universets størrelse blir ikke lettere av at vi ikke vet hvilken form det har. Igjen er det Einstein som har gjort ting klarere – og samtidig mer forvirrede.

Over store avstander er vår vanlige tredimensjonale oppfatning av rommet ikke tilstrekkelig.

© claus lunau

Uendelig stort er fortsatt en mulighet

Universets grense ligger utenfor horisonten vår

Lyset beveger seg gjennom rommet med en endelig hastighet, og det setter en grense for hvor langt ut i universet vi kan se.

På astronomisk skala må vi legge til en fjerde dimensjon, nemlig tiden. Universet har altså en firedimensional form som det er vanskelig å se for seg.

Kanskje gir formen universet en uendelig utstrekning, eller kanskje betyr den at universet, som Einstein selv foreslo, er endelig, men uten grenser.

Det høres ut som en selvmotsigelse, men tenk på overflaten av en kule eller en smultring. Den har et endelig areal, men vi kan tegne en rett linje på den og fortsette streken uten noen gang å møte en grense.

Om det forholder seg slik, vet vi fortsatt ikke. Kanskje stikker matematikken også her av fra fysikken. Kanskje finnes ikke uendeligheter, eller så er det bare vi som ikke forstår dem fullt ut.

Som Einstein selv sa: «To ting er uendelige, universet og menneskets dumhet – og jeg er ikke egentlig helt sikker på det der med universet.»

Les også:

Fenomener i fysikken

Oppdagelsen: Ørsteds kolleger gjorde verden elektromagnetisk

10 minutter
Fenomener i fysikken

Forstå magnetisme på 5 minutter

5 minutter
Fenomener i fysikken

Derfor koker du i svarte klær

2 minutter

Logg inn

Ugyldig e-postadresse
Passord er påkrevd
Vis Skjul

Allerede abonnement? Har du allerede et abonnement på magasinet? Klikk her

Ny bruker? Få adgang nå!

Nullstill passord

Skriv inn e-postadressen din, så sender vi deg en e-post som forklarer deg hvordan du skal nullstille passordet ditt.
Ugyldig e-postadresse

Sjekk e-posten din

Vi har sendt en e-post til som forklarer deg hvordan du skal nullstille passordet ditt. Hvis du ikke finner e-posten, bør du se i søppelposten (uønsket e-post, «spam»).

Oppgi nytt passord.

Skriv inn det nye passordet ditt. Passordet må ha minst 6 tegn. Når du har opprettet passordet ditt, vil du bli bedt om å logge deg inn.

Passord er påkrevd
Vis Skjul