Paradokser trekant mand

Vitenskapens største paradokser: Selvmotsigelser gir oss mer kunnskap

Denne setningen er usann. Men hvis den er usann, er den jo nettopp sann. Helt siden antikken har paradokser som dette fått filosofer og forskere til å gruble. Det har gitt oss avansert kunstig intelligens, logiske tidsreiser og større og mindre uendeligheter.

Denne setningen er usann. Men hvis den er usann, er den jo nettopp sann. Helt siden antikken har paradokser som dette fått filosofer og forskere til å gruble. Det har gitt oss avansert kunstig intelligens, logiske tidsreiser og større og mindre uendeligheter.

Shutterstock

Paradokser er selvmotsigende påstander og tilsynelatende logiske argumenter som fører fram til ulogiske eller meningsløse konklusjoner. Her får du forklaringen bak vitenskapens største paradokser gjennom 2500 år.

Logikk

Paradokser robot

Løgnerens paradoks avslører at utsagn kan være delvis sanne eller delvis usanne. Det har skapt en ny logikk som blant annet får beslutningene til roboter til å virke mer menneskelige.

© Reuters/Tyrone Siu/Ritzau Scanpix

Løgner gjør datamaskiner mer menneskelige

Tenkt ut: 400 f.Kr.

«Denne setningen er usann» er en utgave av det som kalles løgnerens paradoks, der utsagn danner en ubrytelig kjede av sirkulær referanse, for hvis setningen er usann, er den jo sann, men hvis den er sann, er den jo usann.

Paradokset stammer fra grekeren Evbulides, som stilte spørsmålet: «En mann sier han lyver; snakker han sant eller usant?» Kjeden av selvmotsigelser kan utvides slik at den dannes av flere utsagn, for eksempel: «Den neste setningen er sann. Den foregående setningen er usann.»

Paradokset har ført til at noen logikere har forlatt ideen om bivalent logikk, altså at setninger enten er sanne eller usanne. I stedet tillates alle verdier mellom de to ytterpunktene. En setning kan for eksempel være delvis sann, eller det kan være delvis sammenfall mellom to bilder. Tilnærmingen brukes for eksempel i ansiktsgjenkjenning.

Den mest kjente ikke-bivalente logikken er såkalt fuzzylogikk. Logikken inngår i programmering av kunstig intelligens fordi den simulerer beslutningsprosesser som minner om menneskelig intuisjon.

Geometri

Paradokser statue trekant

Den umulige trekanten er bare mulig når figuren betraktes fra en bestemt vinkel (innfelt).

© Bjørn Christian Tørrissen

Umulig trekant lurer hjernen din

Tenkt ut: 1934

«Umulighet i sin reneste form» kalte den britiske matematikeren Roger Penrose figuren. Den umulige trekanten ble tegnet første gang av den svenske kunstneren Oscar Reutersvärd i 1934 og popularisert av Penrose og den nederlandske kunstneren Escher. Figuren er en optisk illusjon som ligner en romlig, tredimensjonal trekant når den tegnes i to dimensjoner, men som ikke kan eksistere i virkelighetens tre dimensjoner.

Ved første øyekast virker trekanten fornuftig, men det er umulig å følge flatene hele veien rundt med øynene; for eksempel kan den nederste bjelken se ut til å være både foran og bak trekantens toppunkt.

Bevissthetsforskere har undersøkt hjernens evne til å se den umulige trekanten som tredimensjonal selv etter at illusjonen er brutt. Eksperimentene støtter en psykologisk teori om at menneskets kognitive system er delt i delvis uavhengige moduler. Den visuelle modulen fortsetter å se trekanten som en fysisk gjenstand selv om bevisstheten vår har avslørt bedraget.

Fysikk

Paradokser Achilleus skildpadde

Akilles gir skilpadden et forsprang på 100 meter. Mens han løper de 100 meterne, beveger skilpadden seg 10 meter fram. Mens han løper de 10 meterne, beveger skilpadden seg 1 meter fram, og så videre. Forspranget kan aldri innhentes.

© Shutterstock

Løperen innhenter aldri skilpadden

Tenkt ut: 400 f.Kr.

Sagnhelten Akilles stiller opp i et veddeløp med en skilpadde. Akilles er sikker på seieren og gir skilpadden et stort forsprang, for eksempel 100 meter.

Mens Akilles innhenter de 100 meterne, beveger skilpadden seg 10 meter framover. Mens Akilles løper de 10 meterne, tilbakelegger skilpadden enda 1 meter. Mens Akilles løper den ene meteren, beveger skilpadden seg 10 centimeter lenger fram – og så videre.

Konsekvensen av tankeeksperimentet er at Akilles aldri innhenter skilpadden, han kommer bare nærmere og nærmere. Vår sunne fornuft overbeviser oss imidlertid om at det er noe galt med regnestykket, og moderne matematikk gir oss rett.

I dag har matematikere oppløst paradokset gjennom begrepet grenseverdi. I Zenons verden kunne halvparten av veien minus en fjerdedel minus en åttendedel og så videre aldri bli 0. Men i dag vet vi at 0,0...1 – der prikkene representerer et uendelig antall nuller – er nøyaktig det samme som 0 fordi vi aldri når sifferet 1.

Matematikk

Paradokser universets udvidelse

Universet er allerede uendelig, men utvider seg likevel hele tiden. Noen uendeligheter er altså større enn andre.

© Shutterstock

Uendelighet finnes i flere størrelser

Tenkt ut: 1873

I hverdagslivet gjelder talemåten om at helheten alltid er større enn delene, men i matematikken er det helt annerledes. Paradokset blir tydelig når man betrakter tallene.

Tall som kan representere en avstand på en linje, kalles reelle tall. Det er alle tall som kan skrives som desimaltall – dersom man tillater uendelig mange desimaler. 2 og 78,4297 og tallet pi (3,14...), som uttrykker forholdet mellom en sirkels omkrets og diameter, er alle reelle tall.

Matematisk kan det bevises at det er uendelig og utellelig mange reelle tall bare mellom 0 og 1. Det vil si mer enn det som kan telles med de naturlige tallene – alle de positive heltallene, for eksempel 1, 2, 3 …, som utgjør en mengde som derimot er tellelig og uendelig. Den uendelige mengden naturlige tall er en delmengde av den uendelige mengden reelle tall.

Med andre ord finnes det flere typer uendelighet, og noen uendeligheter er større enn andre. Det beviste den tyske matematikeren Georg Cantor med sitt andre diagonaliseringsprinsipp da han på 1880-tallet la grunnlaget for den moderne mengdelæren.

Cantors forståelse av flere typer uendeligheter bygger på arbeidet til den italienske matematikeren og fysikeren Galileo Galilei. Galilei innså at selv om mengden kvadrattall, altså 1, 4, 9, 16 og så videre, er en delmengde av de naturlige tallene, må de to mengdene være like store. Hvert eneste naturlige tall kan nemlig knyttes til sitt eget kvadrattall, altså 1 med 1, 2 med 4, 3 med 9 og så videre.

Universet illustrerer at det også eksisterer flere typer uendelighet i den fysiske verden. Observasjoner tyder nemlig på at det både er uendelig og utvider seg hele tiden.

Filosofi

Paradokser Theseus skib

Skipet til helten Tesevs ble bevart og stadig reparert. Til slutt var det ikke noe igjen av det opprinnelige skipet.

© PHAS/Universal Images Group/Getty Images

Skipet til Tesevs delte seg i to

Tenkt ut: 500 f.Kr.

I gresk mytologi seiler helten Tesevs hjem fra Kreta i et skip som deretter ligger i havnen i Athen i flere hundre år. Skipet utsettes for vær og vind, så etter hvert blir hvert eneste bord og hver eneste planke skiftet ut, helt til det ikke er noe igjen av det opprinnelige skipet. Men er det fortsatt det samme skipet? Eller er det et nytt skip? Og når skjedde i så fall endringen?

Historien ble diskutert av blant annet Heraklit, Platon og Plutark og uttrykker et grunnleggende og uløselig problem ved begrepet identitet over tid. Paradokset spiller også en rolle for synet vårt på mennesket. Nesten ingen celler overlever fra fødsel til død, så hva gjør oss egentlig til de samme individene gjennom hele livet? Og hva om bevisstheten vår en dag kan kopieres til en datamaskin?

Den britiske filosofen Thomas Hobbes kompliserte paradokset ytterligere med historien om en sjømann som samler alle de plankene som blir skiftet ut på skipet til Tesevs og til slutt kan bygge det opp igjen. Hvilket av de to skipene er nå skipet til Tesevs?

Tidsreiser

Paradokser tidsmaskine bil

I filmen Tilbake til fremtiden reiser hovedpersonen tilbake i tid og sikrer en lykkeligere nåtid for foreldrene sine. Ifølge forskere vil historien imidlertid alltid utvikle seg mot den opprinnelige nåtiden.

© Cap/Image Supplied By Capital Pictures/Ritzau Scanpix

Årsakssløyfe har ingen begynnelse

Tenkt ut: 1781

Ditt eldre jeg dukker plutselig opp med utførlige tegninger til en tidsmaskin slik at du kan bygge den og senere – når du selv har blitt ditt eldre jeg – kan reise tilbake til ditt yngre jeg med de samme tegningene.

Historien beskriver en såkalt lukket årsakssløyfe uten startpunkt. Paradokset tilskrives Rudolf Erich Raspe, som har skrevet fortellingene om baron von Münchhausen, som trakk seg selv opp etter håret og dermed var både årsak og virkning.

Årsakssløyfer er populære i filmer og bøker om tidsreiser, men utgjør også et forskningsfelt. I 2020 utga forskere ved The University of Queensland en artikkel som matematisk beviser at virkeligheten vil korrigere seg selv slik at sløyfen ikke fører til noe paradoks.

Forskerne spår at selv om den opphavlige årsaken ble fjernet – for eksempel den første pasienten som ble smittet med covid-19 – ville senere hendelser søke mot den faktiske samtiden. Det ville bety at en annen person i stedet ble den første smittede, men at historien derfra ville utvikle seg til å bli mer og mer lik den opprinnelige.